Promedio Geométrico.

Nota.

El promedio geométrico que se introduce a continuación, puede separarse de la presentación general de estadística hecha en cursos de enseñanza media y reservarlo para ser trabajado con alumnos destacados que esten en condiciones de estudiar temas específicos como el tratado en el ejemplo.

El promedio aritmético es una estadística que tiene importancia en el caso en que los datos se juntan aditivamente para obtener un total. De hecho, puede interpretarse como un valor que podría sustituir a cada uno de los datos para obtener la misma suma total.

El promedio geométrico por su parte, es relevante cuando los datos se usan multiplicativamente para obtener un resultado. Es así que puede interpretarse como un valor que puede sustituir a cada dato para producir el mismo producto total.

Si el promedio geométrico se denota Xg  y se tiene una serie de n números positivos   x1, x2, ....., xn, entonces se define Xg como la a raíz enésima del producto de estos números, es decir:

Xg =

El promedio geométrico sólo se aplica a números positivos y siempre resulta menor o igual que el promedio aritmético de los mismos. (la igualdad se tiene cuando todos los números promediados son iguales).

Ejemplo.

Un caso de aplicación del promedio geométrico, es el de cálculo de interés en un depósito a plazo.

 Suponga (en un caso hipotético en que las tasas no necesariamente son las que habitualmente se transan en los bancos) que una persona desea depositar $1.000.000. durante un mes a una tasa de 2%.

Esto significa que al término del mes, el banco le entrega $1.020.000.

Al siguiente mes, toma el capital inicial más los intereses y los deposita por otro mes. Esta vez el banco ofrece una tasa de 3%. Al término del segundo mes recibe $1.050.600.

Finalmente, deposita este nuevo capital por un tercer mes, ahora al 4%, obteniendo al final $1.092.624.

¿A qué tasa mensual debería ponerse el capital inicial para obtener el mismo capital final al cabo de los tres meses?

Esta pregunta quiere dilucidar cuál sería la tasa fija que el banco debiese haber aplicado en cada uno de los tres meses en que el capital estuvo depositado (con los intereses variables - 2%, 3%, 4% - que vimos).

El capital total finalmente obtenido, puede expresarse como:

1000000*1.02*1.03*1.04 = 1000000*1.092624

Esto significa que la tasa total aplicada es de 9.2624%

Entonces, la tasa mensual estaría dada por la raíz cúbica de 1.092624, cuyo valor es 1.029968.

Es decir, se habría necesitado una tasa mensual de 2.9968%. Cantidad levemente inferior al 3% que se obtendría si, erróneamente, se hubiese promediado 2%, 3% y 4%.

Para ver claramente cómo interviene el promedio geométrico en este ejemplo, escribamos las tasas de interés como un factor multiplicativo del capital al cual se aplican. De este modo, las sucesivas tasas son: 1.02, 1.03, 1.04.

El promedio geométrico de estos números es:

Xg  = = 1.029968

 

PROGRAMA DESCRIPTIVA