Histograma.

Los datos de una variable numérica, resumidos en tablas, tienen una expresión gráfica que ayuda a su interpretación visual. Esta representación se denomina histograma.

Un histograma está formado por una sucesión de rectángulos contiguos construidos sobre una recta. 

La base de cada rectángulo representa la amplitud del intervalo y la altura está determinada por la frecuencia, de acuerdo a la siguiente:

Regla Básica.

Cada observación representada en un histograma ocupa un rectángulo de igual área y de base dada por el ancho del intervalo correspondiente.

Para cada intervalo, el rectángulo que representa su frecuencia, puede imaginarse formado por un 'apilamiento' de los rectángulos correspondientes a sus observaciones.

 

 

La figura anterior, muestra el histograma correspondiente a la siguiente tabla: 

Intervalo

Frecuencia 

  [1,2[

      6

  [2,3[

     10 

  [3,4[

      4 

  [4,5[

      2 

  [5,6[

      1

En la tabla anterior, todos los intervalos tienen el mismo tamaño. Esto hace que, al aplicar la regla básica, la altura del rectángulo asociado a  cada intervalo sea directamente proporcional a la frecuencia correspondiente.

¿Qué pasa si existen diferencias en el tamaño de los intervalos?

Al aplicar la regla básica en este caso, manteniendo rectángulos de igual área para cada dato, resulta necesario determinar la altura del rectángulo asociado a un intervalo de acuerdo al tamaño de su base correspondiente.

A modo de ejemplo, si un intervalo tiene el doble ancho que otro, cada una de sus observaciones estará representada por un 'rectangulito' de la mitad de la altura que los datos del otro intervalo.

 

 

En la figura anterior, se muestra un histograma para la siguiente tabla: 

Intervalo

Frecuencia

  [8,10[

     4

 [10,14[

     4

Como consecuencia del distinto tamaño de los intervalos, a pesar de tener ambos la misma frecuencia, las alturas de los rectángulos correspondientes son distintas. Sin embargo el área graficada es la misma para cada caso.

Comentario pedagógico.

La presentación de este caso tiene por objeto resaltar un punto importante en el uso de histogramas. Sin embargo, debido a la mayor dificultad en su construcción, sólo deberían asignarse  como trabajo a alumnos destacados.

Un proyecto interesante, por los diversos razonamientos que debe efectuar el alumno, consiste en construir histogramas de dimensiones dadas. En caso que los intervalos de la tabla sean de igual ancho, las alturas del histograma son proporcionales a la frecuencia respectiva, por lo tanto la altura máxima corresponde a la mayor frecuencia.

Si en el caso del primer histograma de esta página, se hubiese pedido construir un histograma de 20cm de ancho y 15cm de alto, el ancho ocupado por cada uno de los cinco intervalos sería 4 cm y la altura de 15cm correspondería al intervalo [2,3[ cuya frecuencia 10 es la mayor de todas. La altura de los otros rectángulos del histograma corresponde a la proporción de 15cm determinada por el cuociente de la respectiva frecuencia con la frecuencia máxima. Es así que al intervalo [3,4[, cuya frecuencia es 4, le corresponde un rectángulo de (15*4/10) cm = 6 cm.

Comentario pedagógico.

En los cálculos de ancho y altura de los rectágulos del histograma, lo más común es que los números que intervienen en los cálculos no produzcan números enteros o 'fáciles' como resultado. En consecuencia, después de introducir los conceptos y practicar con algunos casos 'simples', es conveniente familiarizar a los alumnos con datos tomados de experimentos reales, de preferencia asociados a proyectos hechos por ellos mismos. 

En la construcción de histogramas, de ser posible, resulta provechoso hacer uso de papel milimetrado. Una alternativa más económica son las hojas cuadriculadas de uso común, a pesar de que carecen de las subdivisiones milimétricas. También es bueno el uso de papel blanco conjuntamente con una regla graduada en milímetros. Este último ambiente de dibujo es muy formativo porque implica un mayor aporte del alumno para obtener un resultado satisfactorio.

 

Proyecto.

Construir un histograma que represente las estaturas de los alumnos en clase. En caso que corresponda, se puede hacer histogramas diferentes de acuerdo al género masculino o femenino. Permita que cada uno de los alumnos, decida cuántos intervalos usará y cómo los dispondrá en la recta de los números reales. Seguramente habrá distintas decisiones al respecto. Esto permite una discusión acerca de cuál de ellas es más apropiada para representar los mismos datos. En general, a no ser que haya decisiones extremadamente distintas, los resultados obtenidos no necesariamente son mejores unos que otros, a pesar de las diferencias que puedan observarse.

PROGRAMA DESCRIPTIVA